对数表的製作(Constructions of Logari

球面三角学也有正弦律及余弦律,类似于平面三角学的,天文学家常用它们来做计算,而要面临两个多位数相乘或相除的问题。为了解决乘除的问题,数学家首先想到三角学里的积化和差公式,像是 $$\cos{A}\cos{B} =\frac{1}{2}{(\cos{(A+B)} + \cos{(A-B)})}$$。譬如要算 $${406.7} \times {87.46}$$,则先查表得 $$\cos{66^\circ} \approx 0.4067 $$,$$\cos {29^\circ} \approx 0.8746$$,因此

$$\begin{array}{ll}406.7 \times 87.46 &= 10^5 (0.4067 \times 0.8746) \approx 10^5 \cos{66^\circ}\cos {29^\circ}\\&=10^5 \times \frac{1}{2} (\cos{95^\circ}\cos {37^\circ} \approx 10^5 \times{1}{2}(-0.0872+0.7986)\\&= 10^5 \times \frac{1}{2} \times 0.7114 = 35570\end{array}$$

以上主要是查表及加减计算,不过还是要有相当的过程。于是数学家想到把任何数表成为 $$10$$ 的指数次方,而任何两个这样的数 $$10^a$$、$$10^b$$ 相乘或相除,就得 $$10^{a+b}$$ 或 $$10^{a-b}$$。$${a}$$ 就称为 $$10^a$$ 的(常用)对数。化乘除为加减就是对数的主要功能。

现代的对数表是利用对数函数的泰勒级数来製作的,但十七世纪初发明对数时,还不知道这样的方法。为了製作对数表,得先计算 $$10$$ 的一再平方根,得值如下表:

对数表的製作(Constructions of Logari

 今以 $$\log{2}$$ 为例,说明求其值的方法:

$$2$$ 介于 $$10^{\frac{1}{2}}$$ 与 $$10^{\frac{1}{4}}$$ 之间;以 $$10^{\frac{1}{4}}$$ 除 $$2$$,得商$$ x_1 =1.1246…$$,即 $$2 = 10^{\frac{1}{4}}\times x_1$$。

用同样的方法处理 $$x_1$$,得 $$ x_1 = 10^{\frac{1}{32}} \times {x_2}$$,$${x_2}=1.04659…$$。

处理$${x_2}$$,得 $${x_2} =10^{\frac{1}{64}} \times {x_3}$$,$${x}_3=1.00961$$…。

处理$${x_3}$$,$$ x_3 = 10^{\frac{1}{256}} \times {x_4}$$,$${x}_4=1.00450$$…。有必要的话,可以继续往下做。

把 $$2$$、$$ x_1$$、$$ x_2$$、$$ x_3$$、$$ x_4$$ 串起来,就得

$$\begin{array}{ll} 2&=10^{\frac{1}{4}}\times x_1=10^{\frac{1}{4}}\times 10^{\frac{1}{32}}\times x_2=10^{\frac{1}{4}}\times 10^{\frac{1}{32}}\times 10^{\frac{1}{64}}\times x_3\\&=10^{\frac{1}{4}}\times 10^{\frac{1}{32}}\times 10^{\frac{1}{64}}\times 10^{\frac{1}{256}}\times x_4\end{array}$$

由于 $$x_k$$ 愈来愈小,会趋近于 $$1$$,所以 $$2$$ 写成为 $$10$$ 的指数,

其指数要为 $$\frac{1}{4} + \frac{1}{32} +\frac{1}{64}+ \frac{1}{256}+…$$;

如果算到 $$\frac{1}{256}$$,则和为 $$\frac{77}{256}$$,即 $$\log{2} \approx \frac{77}{256}$$ ($$\approx$$ 0,3)。

一言以蔽之,把指数表成为 $$2$$ 进位的小数,这就是最初製作常用对数表的方法。

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